调和平均数<=几何平均数<=算术平均数<=平方平均数,怎样证明?

调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数，结论如下：

1/[(1/a+1/b)/2]=<√(ab)=<(a+b)/2=<√[a^2+b^2)/2] (a>0,b>0)；

证明过程：

设a、b均为正数，且a>b.

1、利用基础的几何和算术并且反向构建方程式可得：(a - b)^2 >= 0，

即(a + b)^2 - 4ab >= 0，故a + b >= √(4ab) = 2√(ab).

经过变形可得：√(ab)=<(a+b)/2，

即：几何平均数≤算术平均数。

2、利用上式的结论，可得：1 / (1/a + 1/b) = ab/(a+b) <= ab / 2√(ab).

即：调和平均数≤几何平均数。

3、利用算式平方：因(a^2 + b^2) / 2 - (a/2 + b/2)^2 = (a - b)^2 / 4 >= 0，

故√((a^2 + b^2) / 2) >= (a + b)/2.

即：算术平均数≤平方平均数。

整理以上结果可得： 1/[(1/a+1/b)/2]=<√(ab)=<(a+b)/2=<√[a^2+b^2)/2] (a>0,b>0)，即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数。

扩展资料：

调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数的一般表示方法：

1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)，（n>=0）

2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)，（n>=0)

3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n,(n>=0)

4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n],(n>=0)

这四种平均数都满足Hn≤Gn≤An≤Qn的条件。

二元的易证，多元的就有点麻烦了。下面给二元的证明，多元的找本竞赛书